摘    要：針對分數階pi^λd^μ控制器參數整定研究，回顧了分數階微積分的數學描述，采用基于改進差分進化算法的分數階pi^λd^μ控制器參數整定方法，并利用oustaloup，euler，tustin，al-alaoui方法實現了分數階微分算子、仿真結果表明，該算法計算精度高，收斂快，基于euler，al-alaoui方法分數階微分算子所設計的控制器能滿足預設的性能指標，但oustaloup，tustin分數階微分算子由于引入了額外的極點，影響了主導極點，不能，禹足預設的性能指標。

關鍵詞：分數階；參數優化；差分進化；逼近；極點

中圖分類號：tp 273    文獻標識碼：a

    對于一些復雜的實際系統，如加熱爐等，采用分數階微分方程建立的模型比整數階模型更能反映系統本身的動態特性：在分數階微積分理論的基礎上，作為整數階pid控制器的擴展，i．podlubny提出了分數階pi^λd^μ控制器，a．oustaloup提出了控剎器。分數階pi^λd^μ控制器引入了積分環節和微分環節的階次λ和μ，相比于整數階pid控制器，多了兩個可調節參數。已有研究結果表明，pi^λd^μ控制器參數可調節范圍更大，調節方法更靈活，魯棒性更強，具有更優的控制效果。

  差分進化是基于群體智能的實數編碼進化算法。相比于其他進化算法，差分進化具有記憶個體****解、共享群體信息的特點，全局搜索能力強、收斂速度快、魯棒性強。

  本文簡介了分數階微積分、分數階系統、分數階pi^λd^μ控制器的數學描述及常見的分數階pi^λd^μ控制器的參數整定方法，基于主導極點法和差分進化整定分數階pi^λd^μ控制器參數，并進行了實例仿真，仿真結果驗證了算法的有效性與正確性。

    1)分數階微積分分數階微積分是求任意階次積分和微分的一種數學方法，它是整數階微積分的推廣。riemann-liouville分數階積分定義如下：

    分數階微分定義有caputo定義、 rl定義和cl定義。其中，rl定義常用于數學推導過程中，而在工程實際應用中，一般采用gl定義或caputo定義。

    riemann-liouville分數階微分定義如下：

 

    cnimvald-letnihw分數階微分定義如下：

    2)分數階系統

    ①分數階系統拉普拉斯變換描述分數階系統最常用的數學工具是拉普拉斯變換。函數f(t)的次積分的拉普拉斯變換為

當f(0)=d₀¹(o)= … =d_oⁿf(0) =0時，函數f(t)的次微分的拉普拉斯變換為

  基于式(4)，式(5)的定義，對于分數階微積分方程，在t=0時刻有輸入u(t)和輸出y(t)，分數階系統的傳遞函數表示為

    ②分數階pi^λd^μ控制器與整數階pid控