摘  要  采取了四個有效措施以促進邊界元法的實用化，它們是，提供了一個適應性很強的三維前處理系統；將可視化技術嵌入到分析和優化的軟件系統中；采用半解析函數大幅度地降低了數值分析問題中的未知數；提供了一個解高階非對稱滿陣方程組的新解法。

    敘  詞  邊界元法可視化半解析函數滿陣方程組

    電磁場數值分析只有幾十年的歷史，由于它的出現使得高壓大容量電工設備的分析從定性走向了定量，因而節省了大量原材料，加之結合優化手段提高了設計水平，所以大大增強了電工產品在國際市場上的競爭力。目前，電磁場數值分析中使用的離散化方法很多，但基本上可以歸成兩大類：有限元法和邊界元法，另外還有一些方法，可以認為是它們的變種或者是該兩種方法的結合。其中有限元法相對于邊界元法，研究得比較成熟，使用得也比較多，國內外已有許多很有特色的軟件包。而邊界元法提出較晚，但因它具有獨特的優點，所以一經提出，立刻獲得了科技工作者的廣泛關注。但成熟的邊界元法軟件包尚不多見，主要原因有，缺乏適應性很強的前處理系統軟件包；可視化技術應用不夠廣泛，例如80年代后期起的踉蹤處理技術尚未得到應用；剖分單元一般限于三角元或四邊形單元，因此產生的未知數很多，計算時需要大量的內存和CPU時間；由于邊界元法中的系數陣是滿陣，還缺乏解滿陣的有效方法。本文針對這些問題，介紹采用一些有效措施后獲得的滿意結果。

    前處理系統提供計算程序中所需要的大量剖分數據，因此是軟件包的重要組成部分。一個好的前處理系統應具有適應性強、易維護、易擴充的特點，否則難以推廣。研制的前處理系統適應面很寬，它包括與拉格朗日插值函數對應的多邊形單元和與環帶狀半解析函數對應的環帶狀單元，前者適用于任意形狀的剖分，后者能解決具有軸對稱結構件的剖分。以前作者曾為多邊形單元單獨研制過一個“積木式”的前處理系統[1]，效果很好。鑒于在高壓大容量電工設備中，具有軸對稱結構的部件數量很多，因此已將該系統擴充為由兩種類型單元組成的“積木式”前處理系統。由于當兩種單元相接時，既要考慮消去重復節點，又要顧及被消去節點上的等效源作用，因此通過采取了一些特殊措施后，才解決了兩個看來互相矛盾的問題。

    可視化技術在軟件包中主要起著三個方面的作用，前處理、跟蹤處理和后處理。在前處理中[2]，可視化技術可幫助和指導用戶準備初始數據，并在自動剖分程序的支持下，可逐一進行各組件及整體的顯示。通過圖形，用戶能及時發現各組件的初始數據或各組件間的相互位置是否正確，一旦發現有誤，可馬上進行修改，直到滿意為止。在分析離子源引出系統的自治解及優化過程中，將可視化技術嵌入優化分析系統，進行了跟蹤處理，以便能及時了解進程中發生的問題，特別在調試階段發揮了很大的作用，節省了大量時間，使之在較短的時間內完成了調試。后處理的可視化是在系統中構造了一個屏幕編輯系統，它將計算機屏幕分成圖形顯示區、菜單區和對話區三部分，不僅可以看到條數可控的彩色等位線，用顏色填塊顯示的等位線，也可看到場強的分布圖及場強大的區域顯示，這些圖形都可根據需要進行縮放。

    該方法適用于具有軸對稱結構件的三維場分析，它的基本單元稱為環帶狀單元，如圖1所示。

 

    設環帶狀單元表面的等效源，則沿tl-t2段的艿可表示成：

         

    式中  和分別為點tl和t2的等效源，而Ni和Nz分別為節點tl和t2的形狀函數，在局部坐標系中的表達式為：

    

    再將式(1)中的，和  沿圓周方向用Fourier級數展開，有：

 

    環帶狀單元j產生在場點i的電位為：

 

   式(3)中沿圓周方向的積分可以由半整數次的勒讓德函數Qk-{(Y)表示，即有：

   可變換到局部坐標系中， 沿軸向方向積分ef(t)dt  因此式(3)可以寫成：

    式中令Po1和p02為零，將上式中的積分項進行一維高斯積分，且沿圓周方向任意選取2m+l個匹配點，即能求出電荷密度展開式中的各次諧波系數。

    由于表達式中沿圓周方向可用特種函數表達，所以它是半解析函數，其中未知數是Fourier級數中的各項系數，大量計算表明，該級數收斂很快。一般m取3～8即可。如果用三角元或四邊形單元剖分，則未知數肯定比這種單元多，當軸對禰件的半徑愈大，則二者的差距就愈大。因此用半解析插值函數（即用環帶狀單元剖分）計算，可大幅度降低未知數的數目，這對求解方程組是十分有利的。若實際單元之間不是直線而是一條曲線，則可用B樣條基予以展開，這樣組件的剖分數可進一步減少，從而達到了既減少未知數又提高計算精度的效果，并且適應能力也增強了。

    至今為止，數學中的計算方法對解滿陣非對稱線性方程組缺乏有效的算法，所以它一直是邊界元法向工程界推廣應用的一個瓶頸。本文通過改進基于行主元的高斯約當消去法而探討了一種新解法，獲得了滿意的效果。

    設有以階的滿陣線性方程組為：

 

    經過第k-l次消去過程后可得：

   

  

    上式中的上標(k-l)表示已完成了第k-l次消去過程后得到的元素這樣直到k-n時，便可以得到方程式消去過程如下

                    

           

    需要指出，高斯一約當消去法是建立在高斯消去法的基礎上，但不需要象高斯列主元消去法那樣有一個回代過程。因此必須將這些非零元素存儲起來。根據上述系數陣消元的特點，并且為了有效地利用計算機的存儲空間及節省時間。

    有限元方程中的系數陣是一個帶狀陣，它的帶寬遠少于方程組的階數，用波陣法求解時可以節省大量的內存。波陣法實質上是高斯一約當消去法的一種應用，所以用本文的新方法求解滿陣方程時也可節省大量的內存。但在元素的存儲上應考慮到滿陣的特點，開辟一個二維數組來存儲系數陣[A]中在消去過程中的非零元素。

    (1)對于是≤號時，經第忌步消去過程后得到的

          

 (2)存放在如下列所示的元素中：；

                  

    這樣，只需要在十號個單元的內存空間就可存儲本來需要nz個內存單元才能存儲的信息。

    計算結果表明，這種新的解法所需的計算機內存資源是高斯列主元消去法的1/4，而在誤差相當的條件下，計算時間又較高斯列主元消去法減小了很多，約可節省百分之40左右，它隨方程組階數的不同而有所不同（參見表1）。以往許多計算方法的改進，經常是節省了內存但增加了CPU時間，或者后者減少了而前者又增加了，但本文的新解法卻獲得了這兩方面的優點。目前在有4兆內存的微機上已能計算1800×1800階的滿陣線性方程組，從所用的時間及需要的計算機內存來看，如此高階數的線性方程組，過去只能在微機上實現，并且使多邊形單元邊界元程序的計算速度提高了4～5倍，而計算機能解的滿陣線性方程組的未知數的數目又可增加一倍左右。因此，新解法在將邊界元法推向實用化過程中起到了十分重要的作用，而且由于解法的通用性，可以在各個領域中推廣。

    (1)C指本文提供的新解法，D指高斯消去法。

    (2)算例中的系數陣A及右端項B的元素如下：

 

   

  (3)表1說明，用高斯消去法解900×900階的矩陣（使用1386DX機，4兆內存），誤差已不能滿足要求。

    (1)由多邊形剖分單元和環帶狀剖分單元組成的前處理系統具有很強的適應能力，它既適應于三維電場、磁場，也適應于離子源光學系統的剖分等。

    (2)將可視化系統嵌入到分析和優化系統中，可以發揮多方面的作用，如能提商糾錯和控制能力，特別能提高系統的調試速度。

    (3)引用半解析插值函數，可以大幅度地降低剖分未知數。本文所介紹的環帶狀單元對求解具有軸對稱結構的三維電場或磁場都有很高的效率。

    (4)本文提供的求解滿陣非對稱線性方程組的新解法，是一種省時省力省資源的有效方法。