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秦磊1.2，許立忠1
（1 燕山大學，秦皇島066004；2上海微電子裝備有限公司，上海201203）
摘要：該文介紹了靜電諧波微電機的基本工作原理。通過分析系統(tǒng)中存在的靜電結構耦合關系，并進行離散化處理，建立了結構場和靜電場的有限元耦合平衡方程。討論了靜電場和結構場之間存在的耦合條件和各場的邊界條件。由結點映射推導出位移和力在兩物理場交界面上傳遞的表達式。總結了靜電一結構耦合問題的迭代求解框圖和詳細步驟。通過對系統(tǒng)的有限元仿真，得到了柔輪的徑向位移分布及其隨系統(tǒng)參數(shù)的變化規(guī)律。所得的結果為進一步研究微電機的性能提供了依據(jù)。
關鍵詞：靜電諧波；靜電結構耦合；耦合條件；邊界條件；有限元
中圖分類號：TM359. 9：THl32. 2 文獻標志碼：A 文章編號：
0引 言
微機電系統(tǒng)（MEMS)是將微細加工技術與超精密加工技術相結合，以特征尺寸為(0. 5 - 500) ym的可動部件組成的，高度集成機械、電子與控制于一體的系統(tǒng)。隨著系統(tǒng)尺寸的不斷減小，靜電力表現(xiàn)出比機械力和電磁力更明顯的優(yōu)勢。靜電驅動逐漸成為MEMS領域最常用的驅動方式。研究多能量域耦合問題則一直是MEMS領域關注的重要課題。
Endemano等給出了一種醫(yī)用雙定子雙轉子的擺動式靜電電機的扭矩計算模型；SaITOS t等闡述了具有8個定子電極的圓柱式和圓錐式擺動靜電電機的設計結構，并進行了一系列分析和測試。他們提出的模型均存在輸出軸擺動，轉子與定子之間由于摩擦導致靜電能損失等缺陷。本文基于諧波傳動原理提出一種新型靜電驅動電機——靜電諧波微電機。
1靜電諧波微電機的工作原理
如圖l所示為靜電諧波微電機的結構示意圖。圖l(a)中，傳動的柔輪1是半徑為r、壁犀為h，有效變形長度為l的薄壁鋁制圓柱，柔輪外面是厚度為t的薄層空氣。定子是空氣層之外的6塊用來在不同時刻施加電壓的互相絕緣的金屬導體2，它們的內(nèi)壁需經(jīng)過陽極氧化處理，以獲得一層很薄的電靜電諧波微電機的靜電一結構耦合有限元分析秦磊，等介質層。如圖l(b)所示，在定子2的兩個相對的對稱角度[ -p，p]即扇區(qū)AA上施加幅值相等、極性
相反的電壓后，會在柔輪1的表面產(chǎn)生一定的感應電荷，于是內(nèi)外金屬體之間形成靜電場，所產(chǎn)生的電場力如圖中所示。在靜電場力的作用下，柔輪必然會發(fā)生一定的變形。將幅值相等、極性相反的電壓按/所示方向順序施加于不同的相對應的兩個扇區(qū)AA，BB和CC內(nèi)則柔輪會在相應的位置發(fā)生變形，由于變形的周期性，柔輪會因此而沿n。所示方向轉動起來。如上所述，A，B，C，A，B和C為6路幅值相等的直流開關信號，同一時刻僅兩個對應扇區(qū)施加極性相反的電壓，并將這種電壓施加方式沿某一方向順序切換至下一扇區(qū)。
在靜電諧波微電機系統(tǒng)中，靜電驅動使柔輪發(fā)生變形從而產(chǎn)生運動，變形的柔輪又反過來改變了靜電場的分布，如此反復直至平衡。系統(tǒng)的正常運轉有賴于柔輪的變形，準確而高效地分析柔輪在靜電場力作用下的變形是研究系統(tǒng)承載能力的關鍵所在。本文基于對系統(tǒng)耦合關系的分析，建立了有限元耦合平衡方程，探討其耦合條件和邊界條件，并重點給出了柔輪徑向位移的分布規(guī)律。
2靜電一結構耦合方程
2.1結構場平衡方程
當電壓緩慢地施加于靜電場的邊界上時，整個耦合問題可視為是靜態(tài)的。靜電諧波微電機的柔輪受外層電場的作用將發(fā)生變形，遵循彈性結構有限元理論的力平衡方程：
其中，k為結構場的整體剛度矩陣；δs為結點位移列陣；Fs（φ，x）為電場作用于柔輪的力向量，很顯然，電場力的大小由靜電場的電勢西和電場內(nèi)結點的位移x共同決定。
2.2靜電場平衡方程
柔輪外層的電場可由拉普拉斯方程及其邊界條件來描述：
式中，ε為介電常數(shù)；Ω為靜電場場域，場域邊界由τb和τo組成；φ(x)為電場的電勢，其分布受電場空間結點位移的影響，而電場空間的變化受柔輪變形的影響；n為邊界面的法線方向。上述邊值問題等價于泛函，(p(z))的最小值問題：
當前問題中，L包括兩部分：與柔輪1的外表面緊貼的空氣層內(nèi)表面，其電勢為0；與定子2的內(nèi)表面緊貼的空氣層外表面，其電勢由施加在定子2上的電壓U給出。
將上式通過有限元離散化而轉化為一組以結點電勢分量為未知量的方程組：
并且
其中，矩陣P中的元素Pij為與單元形函數(shù)Ni，以以及相應單元子域Ωe相關的系數(shù)；下角標Ω表示矩陣中對應于靜電場域以內(nèi)的部分，τb表示對應于場域門邊界的部分；Ω為靜電場的電勢向量。
2.3靜電一結構耦合方程
電場空間內(nèi)結點位移z的即時分布可用類似于結構場的有限元方程描述：
至此，在以上方程中，方程(1)和(5)之間、方程(4)和(5)之間構成直接的耦合關系。
運用Newton迭代法對上述兩場的耦合問題進行求解，最終的求解矩陣方程組應為：
其中，Rs，RE和Rm。分別表示各方程在迭代過程中的殘差向量，對由式(6)、式(7)和式(8)組成的方程組進行線性化，可得
式中A為雅克比矩陣
由式(9)可得，笫n次迭代計算場變量增量的公式為：
2.4耦合條件與邊界條件
設σs表示結構場的應力張量，σE表示靜電場的麥克斯韋應力張量，n表示柔輪和電場的交界面，上某處的法線方向，則交界面上二者之間的力平衡關系如下：
而交界面，上兩場之間對應點的位移滿足如下的相容條件：
式中，aE為交界面上靜電場內(nèi)某點的位移。
顯然，在交界面，上，還應存在連繽性條件：
3位移和力的傳遞關系
3.1位移的傳遞
記靜電場靠近交界面，的表面為τE，結構場靠近交界面τ的表面為τs。由于靜電場與結構場的網(wǎng)格劃分在交界面，上的結點不對應，通常需要結點映射的方法實現(xiàn)兩場之間的位移或力的傳遞。設將靜電場邊界τE上的結點Hk映射至結構場邊界τE上得到點Sk，則結合式(121，再利用結構場的單元形函數(shù)Hk，可得靜電場中該結點的位移為：
式中，σs為結構場單元內(nèi)結點i的位移is為結構場單元子域內(nèi)的單元節(jié)點數(shù)目。
運用式(12)、式(13)和式(14)，將邊界上的n個結點映射至τs上時，交界面上的位移由τs上n個結點的位移表示為：
式中，τm為mxn的轉換矩陣，
可見，T是由結構場的單元形函數(shù)構成。
3.2力的傳遞
已知在靜電場的邊界面τE上，某點j的電場力由下式給出：
式中，dA為τE上的增量面積。
用σ和σ分別表示靜電場邊界τs和結構場邊界τE上所允許的虛位移，則結合式(14)可得，在邊界面τE上的n個結點的電場力所做的虛功可以表示為：
又在結構場邊界面τs體力所做的虛功可由下式給出：
根據(jù)能量守恒原理，靜電場與結構場在任何時間步冉通過交界畫，所傳遞的能量收支平衡，故由式(16)和(17)可得：
則得交界面f上力的傳遞公式為
式中，F(xiàn)E為電場力向量。
4耦合問題的迭代步驟
對結構場和靜電場模型進行有限元離散化以后，兩場之間通過交界面，兩側的結點實現(xiàn)位移和力的傳遞，整個耦合場問題的求解流程可用圖2表示為：
整個耦合方程組進行迭代的過程可以歸結為以下幾個步驟：
(1)在交界面τ上初始化：
(2)將結構場的位移轉換至靜電場：
(3)由方程(7)求解靜電場內(nèi)的電勢分布函。并進一步求得電場力F
(4)將靜電場力轉換到結構場：
(5)求解方程(6)得到結構場的位移；
(6)設指定的收斂誤差為X，則由范數(shù)表達式驗證收斂：
5有限元仿真
給定如表1所示系統(tǒng)參數(shù)的靜電諧波微電機。其中，E，μ分別為柔輪材料的彈性模量和泊松比。
由于靜電諧波微電機的驅動和承載能力在很大程度上受到徑向變形的影響，因此以分析其徑向位移為重點，所得其分布情況如圖3所示：
分析圖3可知，位移w在φ=0，在180度截面上達到掙得****值，在α截面上層周期性變化規(guī)律，在α=0.01m截面上，位移w趨于0
進一步研究徑向位移w隨系統(tǒng)參數(shù)的變化規(guī)律，可得圖4-圖6。
從圖4至圖6可知：
1)在α=0、φ=o度截面上，位移W隨電壓U的增大而增大；
2)在α=0、φ=o度截面上，位移w隨半徑r的增大而增大；
3)在α=0、φ=0度截面上，位移W而隨空氣隙厚度f的增大而減小。因為當空氣隙厚度增大時，相同電壓下產(chǎn)生的電場力會相應減小。
靜電諧波微電機的輸出扭矩隨徑向位移的增大而增大。綜上所述，為了產(chǎn)生較大的電場力，以使柔輪發(fā)生較大的徑向變形w，可以適當增大電壓U、半徑r，并盡量減小空氣隙厚度l。
6 結 論
靜電一結構耦合是廣泛存在于諸多MEMS中的耦合作用很強的非線性問題，通過分析結構場和靜電場各自的平衡方程，建立耦合平衡方程可以清晰地闡述大多數(shù)結構場和靜電場的耦合關系。分析兩物理場之間的結點映射關系，可以得到轉換矩陣L，在兩場之間進行位移和力的傳遞。結合既定的一系列位移和電壓邊界條件，通過Newton方法可以實現(xiàn)有限元方程組的迭代求解。
文中重點給出了柔輪徑向位移的變化規(guī)律，以及各種系統(tǒng)參數(shù)對徑向位移變化的影響，研究結果為分析系統(tǒng)的承載能力奠定了基礎，也為進一步研究該種微電機的性能提供了依據(jù)。
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